１年単位の有期雇用契約をくり返していました。３年目が終わりに近づいた頃、次の契約はないと言われました。契約更新を求めることはできないのでしょうか？

できます。
有期雇用契約の場合でも、契約をくり返していた場合や、労働者が契約更新への合理的期待を持っていて当然であると考えられる場合には、通常の解雇制限と同じように取り扱うべきです。合理的理由のない雇止めは許されません。

会社を辞めさせてくれません。どうしたらよいのでしょうか？

退職は労働者の自由です。
退職の意思表示は文書または口頭のいずれでもかまいませんが、文書で退職届を提出するといった手続きをふんだ方が問題が残りません。会社が退職を承諾しない場合でも、労働者が労働契約の解除を意思表示すれば、２週間後に契約が終了します。
１年契約など有期雇用の途中で退職する場合でも、労働者にやむを得ない事情がある場合には退職できます。また１年を超える有期契約の場合、１年以上勤めたときには、理由の内容に関わらず退職できます。
採用時に提示された労働条件と実態が異なっていた場合も、ただちに労働契約を解除することができます。

派遣労働とはどういう働き方なのですか？

派遣労働は、雇用契約を交わした会社（派遣元）と実際に仕事をする会社（派遣先）が異なります。派遣元は労働者の供給の依頼を受け、依頼主（派遣先）に労働者を派遣し、労働者は派遣先の命令に従って働くという働き方です。労働者は派遣元に雇用されており、賃金は派遣元から支払われ、社会保険も派遣元を通じて加入します。このように派遣労働では、指揮命令をする会社と賃金を支払う会社が別であるため、使用者が負うべき義務や責任を互いに押し付け合い、免れようとするなど問題が生じやすいのです。

請負と派遣の違いは何ですか？

請負とは、請負業者が注文主から仕事を引き受け、請負業者が雇用する労働者を自ら指揮命令して、請負業者の責任で仕事を完成させるものです。派遣の場合、労働者は派遣先の指揮命令に従って働くのに対し、請負の場合は、請負業者自らが労働者に指揮命令をするという点です。
３年を超えて派遣労働者を継続してはたらかせた場合、派遣先は派遣労働者に対して直接雇用を申し入れなければなりません。（製造業は１年以上）そこで、この直接雇用義務やその他の法規制を回避することを目的に、電機、自動車などの大手製造メーカーの工場で、実際は派遣なのに業務請負を偽装しているケースが急増し、社会問題となっています。

派遣で働き始めたのですが、派遣元から連絡を受けた業務とは異なる内容の仕事をするように言われました。

派遣元から指示された以外の仕事をする必要はありません。
派遣で働く際には、従事する業務、就業の場所、就業時間、賃金、派遣期間などを記載した「就業条件明示書」を派遣元から示してもらうことが大切です。派遣労働者はこの文書に記載してある内容に拘束されるのであり、派遣先からこれ以外の指示を受けても従う必要はありません。