派遣先で残業を命じられているのですが、残業する必要はあるのでしょうか？

就業条件明記書に残業のことが書いてなければ、派遣先から指示されても残業する必要はありません。また就業条件明記書に残業のことが書いてある場合でも、そこに示された残業時間数をこえて働く必要はありません。

有給休暇を取りたいと申し出たところ、派遣元は「派遣先に聞いてくれ」と言うので、派遣先に聞いたら「ダメだ」と言われました。このような場合は、有給休暇を取得できないのでしょうか？

できます。
派遣労働者も有給休暇を取得することが当然できます。その場合、派遣労働者に有給休暇を与える義務があるのは派遣元です。派遣先には有給休暇の取得を拒否したり、時期変更を指示する権利はありません。

派遣先から一方的にクビにされました。すると、派遣元からも「うちとの契約は終わることになる」と言われました。契約期間は残っているのですが、その期間の賃金はもらえないのでしょうか？

残りの期間の賃金は請求できます。
派遣では、派遣元と派遣先との労働者派遣契約で派遣期間が決まっています。その契約の途中で、突然理由もなく派遣先が派遣労働者を追い出すことは許されません。また、派遣元も、合理的理由もなしに派遣労働者を解雇することはできません。

仕事中に怪我をして、１ヶ月入院することになりました、入院費用は誰が支払うのですか？

労働者が仕事のうえで怪我をしたり、病気になったりした時には、最初の３日は会社、それ以後は労災保険が療養費や休業補償を負担することが法律で定められています。労災保険を使えば、労働者が働くことができず、賃金が得られない期間中、平均賃金の合計８割の休業補償等が支払われます。労働者を１人でも雇用した場合、使用者は労災保険に必ず加入しなければなりません。保険料は全額会社負担です。なお、使用者が労災保険加入に加入していなかった場合でも、遡って加入することが出来ます。